# ID 635
Тема Комфорные преобразования
Содержание Введение ………………………………………………………………………...3
Глава I. Понятие конформного преобразования. Виды и свойства
конформных преобразований ………………………………….........6
1.1. Определение конформного преобразования. Угол между
кривыми ……………………………………………………………….6
1.2. Виды конформных преобразований………………………………….9
1.3. Общие свойства некоторых видов конформных преобразований...19
Глава II. Понятие инверсии ……………………………………………………23
2.1. Определение инверсии. Свойства инверсии ………………………...23
2.2. Отображение областей при инверсии ………………………………..29
Глава III. Приложения конформных преобразований ………………………35
3.1. Применение конформных преобразований к решению задач ……..35
3.2. Геометрия Маскерони ………………………………………………..51
3.3. Построение моделей плоскости Лобачевского при помощи
конформных преобразований ………………………………………..55
3.3.1. Интерпретация Пуанкаре внутри Евклидова круга ………………61
3.3.2. Некоторые факты геометрии Лобачевского на конформной
плоскости ……………………………………………………………62
3.4. Интерпретация Пуанкаре планиметрии Евклида в системе окружностей параболической связки…………………………………….65
Заключение …………………………………………………………………….72
Литература ……………………………………………………………………..74
Введение В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности.
Теория геометрических преобразований играет важную роль в теоретическом обосновании геометрии. Она лежит в основе теоретико-группового определения геометрии, помогающего разобраться в сходстве и различии отдельных ветвей геометрии. Однако изучение преобразований, помимо того, что оно представляет большой интерес, оказывается также чрезвычайно полезным для приложений к элементарной геометрии. Многие геометрические преобразования могут быть эффективно использованы при решении содержательных геометрических задач, а также для доказательства ряда теорем.
Геометрия, определяемая с помощью группы круговых преобразований, называется конформной или аналагматической геометрией. Использование конформных преобразований позволяет решить интересный вопрос о том, какие построения являются возможными, если пользоваться только одной линейкой или только одним циркулем.
Конформные преобразования имеют многочисленные применения. Наиболее важные относятся к вопросам физики и механики, при решении различных видов задач, при построении моделей плоскостей, также они применяются в картографии.
В своей работе мы более подробно остановимся на инверсии, так как это один из видов конформных преобразований, имеющий множество приложений.
Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в
окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применение к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это, прежде всего, относится к задачам на построение. Инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии.
Таким образом, тема нашего исследования актуальна и носит название «Конформные преобразования. Приложения».
Объектом нашего исследования выступает конформное преобразование. Предметом является инверсия и ее применение.
Отсюда вытекает необходимость решения следующих задач:
1. дать определение конформных преобразований;
2. выявить общие свойства конформных преобразований;
3. определить виды конформных преобразований;
4. рассмотреть инверсию как один из видов конформного преобразования;
5. показать применения конформных преобразований в различных областях геометрии.
Наша работа состоит из трех глав, каждая из которых разбита на параграфы. Первая глава содержит три, вторая – два, третья – четыре подпункта. Тема нашего исследования рассматривается на страницах, работа включает в себя чертежей.
В первой главе мы рассматриваем понятие конформных преобразований (п.1.1), их виды (п.1.2) и свойства (п.1.3).
Во второй главе подробно описывается такой вид конформных преобразований, как инверсия. В пункте 2.1 мы рассматриваем ее определение и свойства; отображение областей при инверсии показано в пункте 2.2.
Третья глава непосредственно посвящена раскрытию темы нашего исследования, а именно: приложению конформных преобразований, в
4частности, инверсии. В пункте 3.1 даны задачи и их решения при помощи инверсии. Пункт 3.2 содержит задачи геометрии Маскерони, где рассматриваются построения одним лишь циркулем. Последние два пункта первой главы посвящены построению моделей плоскостей.
Заключение Таким образом, рассмотрев понятия конформного преобразования, изучив его виды и свойства, мы приходим к выводу, что преобразования могут быть успешно использованы при решении задач и доказательстве теорем. Также конформные преобразования (в частности инверсия относительно окружности) применяются при построении модели Пуанкаре геометрии Лобачевского и при построении модели плоскости Евклида.
Используя свойство симметрии относительно окружности, легко решить вопрос о том, какие построения элементарной геометрии являются выполнимыми, если пользоваться одним только циркулем. Обычно в задачах на построение предполагается, что при выполнении построения можно пользоваться циркулем и линейкой. В некоторых случаях оказывается возможным обойтись без линейки. Также построения, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки, можно выполнить при помощи одной только линейки, если в плоскости чертежа начерчена некоторая окружность с известным центром.
Еще более поразительным оказывается результата, относящийся к построениям с помощью одного циркуля; оказывается, что при помощи одного циркуля (без линейки!) можно осуществить все построения, которые осуществимы с помощью циркуля и линейки (так называемая геометрия Маскерони).
Таким образом, конформные преобразования тесно связаны с элементарной геометрией.
Кроме этого, мы показали связь конформных преобразований с геометрией Лобачевского на примере построения модели Пуанкаре плоскости Лобачевского. Оказывается, если рассмотреть внутренность некоторого круга, то «прямыми» модно назвать дуги окружностей, которые в точках пресечения с границей круга касаются радиусов. «Движениями» в модели Пуанкаре выступают круговые преобразования, в частности,
инверсии относительно «прямых», переводящие круг в себя. Интересно, что в этой модели окружность (евклидова), расположенная внутри круга, оказывается «окружностью» и в смысле геометрии Лобачевского.
Таким образом, рассмотрев виды, свойства конформных преобразований, подробно остановившись на таком виде, как инверсия, мы выяснили, какие приложения имеет данная группа преобразований при решении задач и при построении моделей плоскостей. Задачи, поставленные перед нами, выполнены, цель работы достигнута.
Знакомство с геометрическими преобразованиями и умение применять их является важным элементом математической культуры.
Литература 1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю., Геометрия: Учеб. Пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 672 с.
2. Бакельман И.Я. Высшая геометрия (Учеб. пособие для пед. ин-тов). М.: Просвещение, 1967. – 368 с.
3. Бакельман И.Я. Инверсия, М.: Наука, 1996.
4. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ: Теория аналитических функций, М.: Просвещение, 1985.
5. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1978. – 576 с.
6. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч I. Общие функциональные ряды и их приложения: Учеб. Пособие для ВТУЗов. – М.: Высшая школа, 1980. – 279 с.
7. Зетель С.И., Геометрия циркуля и линейки, Учпедгиз, 1957.
8. Каган В.Ф., Основания геометрии, в 2-х частях, М.: 1956.
9. Коксетер Г.С., Грейтцер С.П., Новые встречи с геометрией. – М., 1978. – 224 с.
10. Костин В.И., Основания геометрии, Учпедгиз, 1946.
11. Маркушевич А.И. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Наука, 1979. – 56 с.
12. Моденов П.С., Задачи по геометрии. – М.: 1979. – 368 с.
13. Погорелов А.В. Основания геометрии. – М.: Наука, 1979. – 152 с.
14. Трайнин Я.Л., Основания геометрии: Пособие для пед. ВУЗов. – М.: 1961.
15. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин/. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с.
16. Яглом. И.М., Геометрические преобразования, т. 1, М.: Госиздат, 1955 – 1956.
17. Яглом. И.М., Геометрические преобразования, т. 2, М.: Госиздат, 1955 – 1956.
18. Яглом. И.М., Атанасян Л.С., Геометрические преобразования. Энциклопедия элементарной математики, кн. IV – М.: Физматгиз, 1963.
Объем (страниц) 74
Год написания 2006
Стоимость 1500 руб.

Купить