# ID 630
Тема Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях
Содержание Введение 3
Теоретическая часть 5
Глава I. Простые числа в арифметических прогрессиях 5
1.1. Простые и составные числа 5
1.2. Распределение простых чисел в натуральном ряду 8
Глава II. Распределение простых чисел в арифметических прогрессиях 19
2.1. Частные случаи теоремы Дирихле 19
2.2. Теорема Дирихле 25
2.3. Функция
37
Практическая часть 40
Заключение 48
Литература 49
Введение Ранний период развития арифметики характеризуется тем, что постепенно и притом весьма медленно развивается процесс счета, выявляются возможности неограниченного его произведения, создается практическая арифметика, в которой решаются отдельные арифметические задачи.
Важнейшие свойства целых чисел были установлены уже в древности. В Греции в школе Пифагора (шестой век до нашей эры) изучались вопросы делимости чисел, рассматривались различные категории чисел: простые, составные, взаимно-простые, совершенные, квадратные.
Греческим математикам был известен способ выделения простых чисел из натурального ряда, получивший название эратосфенова решета. Благодаря Эратосфену (третий век до нашей эры) сделан дальнейший шаг в развитии аналитической теории чисел.
Математиков волновал вопрос бесконечности простых чисел, распределение простых чисел в натуральном ряду и различных последовательностях натурального ряда. Наиболее простыми бесконечными последовательностями натурального ряда являются арифметические прогрессии.
Если рассмотреть прогрессию с разностью 10: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97, 107, … , то в начале среди ее членов встречается сравнительно много простых чисел (подчеркнутые члены). Будут ли простые члены, содержащиеся в этой прогрессии, образовывать бесконечное множество или, начиная с некоторого места, простые числа больше уже встречаться не будут?
Поэтому в качестве темы нашего исследования мы определили: «Простые числа в арифметических прогрессиях».
Целью исследовательской работы является изучение распределения простых чисел в арифметических прогрессиях.
Для этого необходимо решить следующие задачи:
1. Сформулировать теорему Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии, первый член которой взаимнопрост с разностью.
2. Рассмотреть примеры доказательств частных случаев теоремы Дирихле.
3. Изучить проблему порядка роста функции - числа простых чисел в арифметических прогрессиях … , где при увеличении аргумента .
4. Самостоятельно подобрать и выполнить упражнения, иллюстрирующие изложенный в теоретической части материал.
Для эффективного решения задач дипломной работы была использована совокупность методов исследования: анализ математических идей, анализ теоретического материала по проблеме исследования.
Заключение С древних времен математиков интересовал вопрос распределения простых чисел в натуральном ряду и последовательностях натурального ряда. В исследовании природы натуральных чисел в отношении их простоты и определении сколь угодно большого числа.
Со времен Евклида до начала XIX века были сделаны только лишь первые шаги. А.М. Лежандр и К. Гаусс, исследуя таблицы простых чисел, нашли эмпирические формулы для числа простых чисел , не превышающих данное число , но подкрепить их теоретическими выводами не сумели. П.Л. Чебышев первый после Евклида достигает важных теоретических результатов в этом труднейшем вопросе теории чисел. Он доказывает, что если имеет предел при , то этот предел не может отличаться от единицы. И лишь пятьдесят лет спустя Ж. Адамар и Ш.Ж. Валле-Пуссен докажут, что предел существует. Этим завершилось доказательство асимптотического распределения простых чисел.
Элементарное доказательство существования бесконечного существования бесконечного множества простых чисел для многих арифметических прогрессий частного вида были получены до А. Сельберга
Метод Дирихле доказательства существования простых чисел в арифметических прогрессиях в общем случае «неэлементарен». Асимптотические равенства для числа простых чисел в арифметической прогрессии, не превышает данное , найдены Л. Дирихле, К.А. Родосеным, Фалесом. Ю.В. Линник устанавливает границу для наименьшего простого числа любой заданной прогрессии.
В настоящее время проблема распределения простых чисел в натуральном ряду и последовательностях натурального ряда (не только в арифметических прогрессиях, но и, в частности, в последовательности значений многочлена с целыми коэффициентами степени ) продолжают волновать ученых, рождаются новые гипотезы, уточняются оценки, неравенства.
Литература 1. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. / Под ред. А.Н. Паршина. – М.: Мир, 1987. -428с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1988.
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1952. -180с.
4. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теории чисел. / Под общ. ред. А.Б. Шидловского. - М.: изд-во Моск. ун-та, 1984. -153с.
5. Гельфанд А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. - М.: Физматтиз, 1962. -272с.
6. Девенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. / Под ред. Ю.В. Линника. - М.: Наука, 1965. -176с.
7. Девенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. / Под ред. Н.Г. Чудакова. - М.: Наука, 1971. -200с.
8. Дирихле Л. Лекции по теории чисел. – М.: ОНТИ МКТП, 1936. – 405с.
9. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел. Ч. 2. – Киев: Высш. шк., 1980.
10. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1970.
11. Кудрявцев Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1974.
12. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М.: МЦНМО, 2001. -568с.
13. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. – М.: МЦНМО, 2001. -568с.
14. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. Числа. Учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1974.
15. Михелович Ш.Х. Теория чисел. Учеб. пособие для физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. – М.: Высш. шк., 1967.
16. Ойстин О. Приглашение в теорию чисел. – М.: УРСС, 2003. -128с.
17. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. – М.: Просвещение, 1968. -159с.
18. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. – М.: Просвещение, 1968. -162с.
19. Серр Ж.-П. Курс арифметики. / Под ред. А.В. Малышева. – М.: Мир, 1972. -184с.
20. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. / Под ред. В.И. Виноградова. - М.: Мир, 1974. -188с.
21. Эвнин А. Девятнадцать доказательств теоремы Евклида. // Квант. 2001, №1. С. 35-38.
Объем (страниц) 51
Год написания 2006
Стоимость 1000 руб.

Купить