# ID 1
Тема Интегральные уравнения
Содержание Введение Глава 1. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям 1.1. Равновесие нагруженной струны 1.2. Свободные и вынужденные колебания струны 1.3. Сведение дифференциальных уравнений к интегральным Глава 2. Типы интегральных уравнений 2.1. Линейные интегральные уравнения 2.2. Нелинейные уравнения Вольтерра 2.3. Нелинейные уравнения Глава 3. Интегральные уравнения Фредгольма 3.1. Интегральный оператор Фредгольма 3.2. Уравнения с симметрическим (или симметричным) ядром 3.3. Теоремы Фредгольма. Случаи вырожденных ядер 3.4. Теорема Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами 3.5. Уравнения Вольтерра 3.6. Интегральные уравнения I-го рода Глава 4. Интегральные уравнения, содержащие параметрический метод 4.1. Спектр компактного оператора в интегралах 4.2. Отыскание решения в виде ряда по степеням. Детерминанты Фредгольма Глава 5. Применение метода интегральных преобразований для решения некоторых интегральных уравнений 5.1. Метод последовательных приближений. 5.2. Метод квадратурных формул Приложения. Приложение 1. Таблицы некоторых изображений (преобразования Лапласа) Приложение 2. Примеры решения интегральных уравнений Заключение Литература
Введение Интегральные уравнения являются одним из быстро развивающихся разделов анализа. Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла. Интегральные уравнения – это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твердого тела. Теория интегральных уравнений, т.е. уравнений, в которых искомая функция находится под знаком интеграла, составляет сейчас значительный отдел математического анализа и имеет большое теоретическое и прикладное значение. Хотя отдельные интегральные уравнения встречались уже в первой половине XIX в., но систематическая их теория была заложена на рубеже XIX и XX вв. в работах итальянского математика Вольтерра (1860-1940), шведского математика И.Фредгольма (1866-1927), Д.Гильберта (1862-1943) и других математиков. Этот предмет имеет долгую и извилистую историю и своим возникно-вением он обязан Даниилу Бернулли. В течение двух столетий усилия математиков были направлены к решению (механической, акустической, оптической, электромагнитной) проблемы колебаний среды и связанной с ней краевой задачи теории потенциала. Работа Фурье Th?orie analylique de la chaleur (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов; вместе с К. Нейманом они вступили в схватку с гармонической краевой задачей; В.Вольтерра изучал тот тип уравнений, который теперь носит его имя. Его наиболее знаменитая работа была сделана в интегральных уравнениях. Он начал это изучение в 1884 и в 1896 он опубликовал статьи, в которых есть теперь называемые «интегральные уравнения Вольтерра». Хельге фон Кох изобрёл бесконечные определители для линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. В 1900 Э.И. Фредгольм изложил основные свойства и теоремы теории интегральных уравнений, разработал общие методы решения некоторых их видов (т.н. уравнения Фредгольма). Теория интегральных уравнений развивалась очень медленно. Однако Фредгольм дал красивое и оригинальное решение одного класса таких уравнений, которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями. В работе Фредгольма была реализована идеи превращения системы линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в интегральные уравнения при переходе к предельному случаю сплошной среды. Однако тот факт, что в более простых ситуациях в непрерывном предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные уравнения, на целых два столетия приковал внимание математиков к дифференциальным уравнениям. Тем не менее, надо отметить, что простота результатов Фредгольма обязана специальному виду его уравнения, на который трудно было бы напасть, если бы он не руководствовался проблемами математической физики, к которым он его применил. Целью дипломной работы является анализ основных типов интегральных уравнений и методов их решений на конкретных примерах. В результате выполнения дипломной работы должны быть рассмотрены физические задачи, приводящие к интегральным уравнениям, основные типы интегральных уравнений и методы их решений. Выполнено решение заданного интегрального уравнения с помощью метода последовательных приближений и преобразований Лапласа. В первой главе рассмотрены физические задачи, приводящие к инте-гральным уравнениям: воздействие на линейную систему, освещенность изображения, движение точки под действием силы тяжести, равновесие нагруженной струны, свободные и вынужденные колебания струны, а также сведение интегральных уравнений к дифференциальным. Во второй главе рассмотрены основные типы интегральных уравнений: линейные интегральные уравнения, уравнения Вольтерра, нелинейные интегральные уравнения. Третья глава посвящена интегральным уравнениям Фредгольма. В связи с этим разобраны уравнения Фредгольма с симметричными и вырожденными ядрами, с произвольными ядрами, а также интегральный оператор Фредгольма. Во второй части глава исследованы уравнения Вольтерра и интегральные уравнения I-го рода. В рамках четвертой главы исследованы интегральные уравнения с па-раметром. Рассмотрено решение таких уравнений в виде степенного ряда. Пятая глава посвящена методам решения интегральных уравнений, таким как метод последовательных приближений и метод квадратур. Приложения состоят из двух частей: Приложение № 1. Таблица некоторых изображений Лапласа – для ре-шения интегральных уравнений с помощью преобразований Лапласа. Приложение № 2. Примеры решения интегральных уравнений.
Заключение В результате выполнения данной дипломной работы выполнено сле-дующее: 1. Рассмотрены некоторые физические задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям. 2. Дан теоретический обзор основных типов интегральных уравнений. 3. Подробно разобраны основные методы решений основных типов интегральных уравнений. 4. Выполнено решение конкретного интегрального уравнения с помо-щью метода последовательных приближений и преобразований Лапласа. К интегральным уравнениям сводятся многие задачи математические физике, поэтому данный раздел математики имеет достаточно большое прикладное и практическое значение. При решении интегральных уравнений часто возникают определенные технические трудности. Многие интегральные уравнения не имеют аналитического решения, поэтому для решения таких уравнений можно использовать различные численные методы.
Литература 1. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. – М.: Физматлит, 2002. 2. Владимиров В.С., Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениям математической физике. – М.: Физматлит, 2001. 3. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит, 2001. 4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразование и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 5. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения, справочник. М., «Наука», 1968. 6. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962. 7. Колмогоров А. Н., Фомин С. В.. Элементы теории функций и функционального анализа. M.: Наука, 1976. 8. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравне-ний. М., Физматгиз, 1962. 9. Ловитт У. Линейные интегральные уравнения. М., Гостехиздат, 1957. 10. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., Физматгиз, 1959. 11. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. М., «Наука», 1971. 12. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. 3 изд., М., 1965. 13. Смирнов В. И. Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957. 14. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М., ИЛ, 1960. 15. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М., 1970 г. 16. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. – М.: УРСС, 2000.
Объем (страниц) 59
Год написания 2006
Стоимость 1000 руб.

Купить